Поле в центре контуров из дуг и отрезков

Иродов, задачи 3.225 и 3.226: теория, подробные решения и проверки.

Общая теория

Во всех этих задачах контур состоит из «стандартных» кусков: дуг окружностей с центром в $O$, отрезков прямых и радиальных отрезков. Поле в $O$ считается так:

разбить контур на куски;
найти поле каждого куска по готовой формуле (они выведены ниже из закона Био–Савара);
определить направление каждого вклада по правилу буравчика;
сложить с учётом знаков (принцип суперпозиции).

1. Закон Био–Савара–Лапласа

$$d\mathbf B = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,[d\mathbf l\times\mathbf r]}{r^3},\qquad dB = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,dl\,\sin\varphi}{r^2}.$$

2. Дуга окружности с центром в точке O

Пусть дуга радиуса $R$ видна из центра под углом $\alpha$. Для каждого её элемента $d\mathbf l\perp\mathbf r$ и $r = R$, а все вклады направлены одинаково (перпендикулярно плоскости). Поэтому

$$B_{\text{дуги}} = \frac{\mu_0 I}{4\pi R^2}\int dl = \frac{\mu_0 I}{4\pi R^2}\cdot R\alpha = \boxed{\ \frac{\mu_0 I}{4\pi R}\,\alpha\ }.$$

При $\alpha = 2\pi$ получаем поле в центре кругового витка: $\mu_0 I/2R$.

3. Радиальный отрезок (на прямой, проходящей через O)

Если продолжение отрезка проходит через $O$, то $d\mathbf l \parallel \mathbf r$ и $[d\mathbf l\times\mathbf r] = 0$:

$$B_{\text{рад}} = 0.$$

Такие куски поля в $O$ не создают, их можно просто вычеркнуть. Именно поэтому в задачах выбирают такие контуры.

4. Отрезок прямого провода

Пусть $b$ — расстояние от $O$ до прямой, а углы $\theta_1,\theta_2$ отсчитываются от перпендикуляра, опущенного из $O$, до направлений на концы отрезка:

$$B_{\text{отр}} = \frac{\mu_0 I}{4\pi b}\left(\sin\theta_2 - \sin\theta_1\right).$$

Частные случаи:

отрезок симметричен относительно перпендикуляра, концы видны под углами $\pm\theta$: $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi b}\sin\theta$;
перпендикуляр падает в конец отрезка, другой конец виден под углом $\theta$: $B = \dfrac{\mu_0 I}{4\pi b}\sin\theta$.

5. Направление и знаки

Направление поля определяется правилом буравчика: если ток обходит $O$ по часовой стрелке, поле в $O$ направлено от нас (за плоскость рисунка), если против часовой — к нам. Когда весь контур обходит точку $O$ в одну сторону, все вклады складываются арифметически. Если направления обхода разные, вклады вычитаются.

Задача 3.225 — дуга и хорда

Условие
Ток $I = 5{,}0$ А течёт по замкнутому проводнику: дуга окружности радиуса $R = 120$ мм и хорда, стягивающая центральный угол $2\varphi = 90^\circ$ (рис. 3.63). Найти магнитную индукцию в точке $O$.

Ток обходит точку $O$ по часовой стрелке: и по дуге, и по хорде. Расстояние от $O$ до хорды $b = R\cos\varphi$.

Вклад дуги

Дуга занимает центральный угол $\alpha = 2\pi - 2\varphi$:

$$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}\,(2\pi - 2\varphi) = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}\,(\pi - \varphi).$$

Вклад хорды

Хорда находится на расстоянии $b = R\cos\varphi$ от центра. Перпендикуляр из $O$ падает в её середину, концы видны под углами $\pm\varphi$:

$$B_2 = \frac{\mu_0 I}{4\pi R\cos\varphi}\cdot 2\sin\varphi = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}\,\mathrm{tg}\,\varphi.$$

Направления

По дуге ток идёт слева направо через верх, то есть по часовой стрелке относительно $O$. По хорде, лежащей ниже $O$, ток идёт справа налево — тоже по часовой стрелке относительно $O$. Оба поля направлены от нас и складываются:

$$\boxed{\ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}\left(\pi - \varphi + \mathrm{tg}\,\varphi\right)\ }$$

Числа

$$\frac{\mu_0 I}{2\pi R} = \frac{2\cdot10^{-7}\cdot 5}{0{,}12} = 8{,}33\cdot10^{-6}\ \text{Тл},\qquad \pi - \frac{\pi}{4} + 1 = \frac{3\pi}{4} + 1 \approx 3{,}36.$$

Ответ $$B = 8{,}33\cdot10^{-6}\cdot 3{,}36 \approx 2{,}8\cdot10^{-5}\ \text{Тл} = \mathbf{28\ мкТл}$$

Проверка предельными случаями

$\varphi \to 0$ (хорда стягивается в точку): $B \to \mu_0 I/2R$ — полный круговой виток ✓
$\varphi = \pi/2$ (хорда становится диаметром, а $O$ лежит на проводе): $\mathrm{tg}\,\varphi \to \infty$. Поле на самом тонком проводе бесконечно — ожидаемая расходимость ✓

Задача 3.226 — составные контуры

Условие
Найти индукцию магнитного поля в точке $O$ контура с током $I$, показанного: а) на рис. 3.64, а (радиусы $a$, $b$ и угол $\varphi$ известны); б) на рис. 3.64, б (радиус $a$ и сторона $b$ известны).

а) Серые радиальные отрезки поля в $O$ не создают.

б) Диагональ делит каждую из сторон квадрата, видимую из $O$, на угол $45^\circ$.

а) Две дуги и два радиальных отрезка

Разбиваем контур на куски:

Большая дуга радиуса $b$, центральный угол $\varphi$: $B_1 = \dfrac{\mu_0 I}{4\pi b}\,\varphi$.
Малая дуга радиуса $a$, центральный угол $2\pi - \varphi$ (оставшаяся часть окружности): $B_2 = \dfrac{\mu_0 I}{4\pi a}\,(2\pi - \varphi)$.
Вертикальный и горизонтальный отрезки лежат на радиусах, проходящих через $O$: $B_3 = B_4 = 0$.

Обе дуги ток обходит по часовой стрелке (вверх по вертикали → по большой дуге вправо-вниз → влево по горизонтали → по малой дуге вниз и вокруг). Вклады складываются:

Ответ а) $$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\left(\frac{2\pi - \varphi}{a} + \frac{\varphi}{b}\right)$$

Проверка: при $b = a$ получаем $\mu_0 I/2a$ — полный круговой виток ✓. При $\varphi = 0$ — тоже полный виток радиуса $a$ ✓.

б) Дуга и две стороны квадрата

Дуга радиуса $a$ — три четверти окружности, $\alpha = 3\pi/2$: $$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi a}\cdot\frac{3\pi}{2} = \frac{3\mu_0 I}{8a}.$$
Левая сторона квадрата (вертикально вверх от $O$) и нижняя (горизонтально к $O$) — радиальные: $B = 0$.
Верхняя сторона: расстояние от $O$ до неё равно $b$. Перпендикуляр из $O$ падает в её левый конец, а правый конец (угол квадрата) виден под углом $45^\circ$: $$B_2 = \frac{\mu_0 I}{4\pi b}\sin 45^\circ = \frac{\sqrt2\,\mu_0 I}{8\pi b}.$$
Правая сторона — по симметрии то же самое: $B_3 = \dfrac{\sqrt2\,\mu_0 I}{8\pi b}$.

Все участки ток обходит по часовой стрелке относительно $O$, вклады складываются:

Ответ б) $$B = \frac{3\mu_0 I}{8a} + \frac{\sqrt2\,\mu_0 I}{4\pi b} = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\left(\frac{3\pi}{2a} + \frac{\sqrt2}{b}\right)$$

Проверка через полный квадрат
Квадрат со стороной $2b$ и центром $O$ состоит из 8 таких «половинок сторон». Его поле в центре: $$8\cdot\frac{\sqrt2\,\mu_0 I}{8\pi b} = \frac{\sqrt2\,\mu_0 I}{\pi b} = \frac{2\sqrt2\,\mu_0 I}{\pi\,(2b)}.$$ Это известная формула $B = 2\sqrt2\,\mu_0 I/(\pi\cdot\text{сторона})$ ✓

Итог

Задача	Из чего состоит контур	Ответ
3.225	дуга $2\pi - 2\varphi$ + хорда на расстоянии $R\cos\varphi$	$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi R}(\pi - \varphi + \mathrm{tg}\,\varphi) \approx 28$ мкТл
3.226 а	дуга $a$ (угол $2\pi-\varphi$) + дуга $b$ (угол $\varphi$) + 2 радиальных отрезка	$B = \dfrac{\mu_0 I}{4\pi}\left(\dfrac{2\pi-\varphi}{a} + \dfrac{\varphi}{b}\right)$
3.226 б	$\tfrac34$ окружности $a$ + 2 стороны квадрата $b$ + 2 радиальных отрезка	$B = \dfrac{\mu_0 I}{4\pi}\left(\dfrac{3\pi}{2a} + \dfrac{\sqrt2}{b}\right)$

Задача	Из чего состоит контур	Ответ
3.225	дуга \(2\pi - 2\varphi\) + хорда на расстоянии \(R\cos\varphi\)	\(B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi R}(\pi - \varphi + \mathrm{tg}\,\varphi) \approx 28\) мкТл
3.226 а	дуга \(a\) (угол \(2\pi-\varphi\)) + дуга \(b\) (угол \(\varphi\)) + 2 радиальных отрезка	\(B = \dfrac{\mu_0 I}{4\pi}\left(\dfrac{2\pi-\varphi}{a} + \dfrac{\varphi}{b}\right)\)
3.226 б	\(\tfrac34\) окружности \(a\) + 2 стороны квадрата \(b\) + 2 радиальных отрезка	\(B = \dfrac{\mu_0 I}{4\pi}\left(\dfrac{3\pi}{2a} + \dfrac{\sqrt2}{b}\right)\)