Магнитное поле движущихся зарядов и токов

Иродов, задачи 3.221–3.223: теория, подробные решения и проверки.

Общая теория

1. Магнитное поле точечного заряда

Заряд $q$, движущийся со скоростью $\mathbf v$ ($v \ll c$), создаёт в точке с радиус-вектором $\mathbf r$ (от заряда к точке) магнитное поле

$$\mathbf B = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\,[\mathbf v\times\mathbf r]}{r^3}.$$

Его же электрическое поле — закон Кулона:

$$\mathbf E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q\,\mathbf r}{r^3}.$$

Сравнивая формулы, получаем связь между полями:

$$\boxed{\ \mathbf B = \varepsilon_0\mu_0\,[\mathbf v\times\mathbf E] = \frac{1}{c^2}\,[\mathbf v\times\mathbf E]\ },\qquad c^2 = \frac{1}{\varepsilon_0\mu_0}.$$

Для равномерно движущегося заряда эта связь верна и в релятивистском случае.

2. Закон Био–Савара–Лапласа

Ток — это множество движущихся зарядов: $q\mathbf v \to I\,d\mathbf l$. Элемент тока создаёт поле

$$d\mathbf B = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,[d\mathbf l\times\mathbf r]}{r^3},\qquad dB = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,dl\,\sin\varphi}{r^2},$$

где $\varphi$ — угол между $d\mathbf l$ и $\mathbf r$. Направление поля даёт правило правого винта (буравчика).

3. Принцип суперпозиции

Поле всего контура равно векторной сумме (интегралу) полей его элементов:

$$\mathbf B = \oint d\mathbf B.$$

Часто симметрия позволяет сразу сказать, что часть компонент взаимно уничтожается, и интегрировать только оставшуюся.

4. Поле отрезка прямого провода

Пусть точка находится на расстоянии $b$ от прямой, на которой лежит отрезок. Углы $\theta_1, \theta_2$ отсчитываются от перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, до направлений на концы отрезка. Положим $l = b\,\mathrm{tg}\,\theta$, тогда $dl = b\,d\theta/\cos^2\theta$, $r = b/\cos\theta$, $\sin\varphi = \cos\theta$:

$$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi b}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\cos\theta\,d\theta = \frac{\mu_0 I}{4\pi b}\left(\sin\theta_2 - \sin\theta_1\right).$$

Для бесконечного провода $\theta_{1,2} = \mp\pi/2$, и получается известное $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi b}$.

Задача 3.221 — поле движущегося заряда

Условие
Точечный заряд движется со скоростью $v = 900$ м/с. В точке $P$ напряжённость его электрического поля $E = 600$ В/м, угол между $\mathbf E$ и $\mathbf v$ равен $\alpha = 30^\circ$. Найти индукцию $B$ магнитного поля заряда в точке $P$.

$\mathbf E$ направлен вдоль $\mathbf r$; угол между $\mathbf E$ и $\mathbf v$ равен $\alpha$. Вектор $\mathbf B$ перпендикулярен плоскости рисунка.

Решение

Используем связь между полями движущегося заряда:

$$\mathbf B = \frac{1}{c^2}[\mathbf v\times\mathbf E]\quad\Rightarrow\quad B = \frac{vE\sin\alpha}{c^2}.$$

Удобство в том, что не нужно знать ни заряд $q$, ни расстояние $r$: вся эта информация уже содержится в $E$.

Ответ $$B = \frac{900\cdot 600\cdot 0{,}5}{(3\cdot10^8)^2} = \frac{2{,}7\cdot10^5}{9\cdot10^{16}} = 3\cdot10^{-12}\ \text{Тл} = \mathbf{3\ \text{пТл}}$$

Комментарий
Поле ничтожно мало, потому что $B/E \sim v/c^2$. Магнитное взаимодействие медленных зарядов — релятивистская поправка порядка $(v/c)^2$ к электрическому. В проводах оно заметно только потому, что огромный электрический заряд электронов там скомпенсирован ионами, а магнитные поля не компенсируются.

Задача 3.222 — круговой виток

Условие
По круговому витку радиуса $R = 100$ мм циркулирует ток $I = 1{,}00$ А. Найти магнитную индукцию: а) в центре витка; б) на оси витка на расстоянии $x = 100$ мм от центра.

$d\mathbf B$ перпендикулярен $\mathbf r$. После суммирования по витку остаётся только составляющая вдоль оси.

Вывод формулы на оси

Каждый элемент $d\mathbf l$ перпендикулярен $\mathbf r$ ($\sin\varphi = 1$), а расстояние до точки одно и то же: $r = \sqrt{R^2+x^2}$. Поэтому

$$dB = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,dl}{r^2}.$$

Составляющие $d\mathbf B$, перпендикулярные оси, от диаметрально противоположных элементов взаимно уничтожаются. Остаётся осевая составляющая $dB_\parallel = dB\cdot\dfrac{R}{r}$:

$$B = \oint\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I R}{r^3}\,dl = \frac{\mu_0 I R}{4\pi r^3}\cdot 2\pi R = \boxed{\ \frac{\mu_0 I R^2}{2\left(R^2+x^2\right)^{3/2}}\ }.$$

а) Центр витка ($x = 0$)

$$B_0 = \frac{\mu_0 I}{2R} = \frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot 1}{2\cdot 0{,}1} = 6{,}28\cdot10^{-6}\ \text{Тл}.$$

б) Точка на оси, $x = R = 0{,}1$ м

$$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2\left(2R^2\right)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I}{2R}\cdot\frac{1}{2\sqrt2} = \frac{B_0}{2\sqrt2} = \frac{6{,}28}{2{,}83}\cdot10^{-6} = 2{,}22\cdot10^{-6}\ \text{Тл}.$$

Ответ а) $B_0 = \mu_0 I/2R \approx \mathbf{6{,}3\ мкТл}$; б) $B = \dfrac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}} \approx \mathbf{2{,}2\ мкТл}$.

Проверки и предельные случаи

При $x = 0$ общая формула переходит в формулу для центра ✓
При $x \gg R$: $B \approx \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{2p_m}{x^3}$, где $p_m = I\pi R^2$ — магнитный момент. Это поле магнитного диполя на его оси, аналог поля электрического диполя $E = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{2p}{x^3}$ ✓
Направление $\mathbf B$ — по правилу правого винта: если ток идёт против часовой стрелки (смотрим с конца оси), поле направлено на нас.

Задача 3.223 — правильный n-угольник

Условие
Ток $I$ течёт по тонкому проводнику в виде правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$. Найти магнитную индукцию в центре контура. Исследовать выражение при $n\to\infty$.

Каждая сторона видна из центра под углом $2\pi/n$; расстояние от центра до стороны $b = R\cos(\pi/n)$.

Поле одной стороны

Сторона — отрезок прямого провода. Расстояние от центра до стороны (апофема):

$$b = R\cos\frac{\pi}{n}.$$

Перпендикуляр из центра падает в середину стороны, поэтому $\theta_1 = -\pi/n$, $\theta_2 = +\pi/n$. По формуле для отрезка:

$$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi b}\cdot 2\sin\frac{\pi}{n} = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}\,\frac{\sin(\pi/n)}{\cos(\pi/n)} = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}\,\mathrm{tg}\frac{\pi}{n}.$$

Поле всего контура

Поля всех $n$ сторон в центре направлены одинаково (перпендикулярно плоскости контура, по правилу буравчика), поэтому складываются арифметически:

$$\boxed{\ B = n B_1 = \frac{\mu_0\, n I}{2\pi R}\,\mathrm{tg}\frac{\pi}{n}\ }$$

Предел $n\to\infty$

При малом угле $\mathrm{tg}\,\dfrac{\pi}{n} \approx \dfrac{\pi}{n}$, поэтому

$$B \to \frac{\mu_0 n I}{2\pi R}\cdot\frac{\pi}{n} = \frac{\mu_0 I}{2R}.$$

Это поле в центре кругового витка из задачи 3.222: многоугольник переходит в окружность ✓

Ответ $$B = \frac{\mu_0 n I}{2\pi R}\,\mathrm{tg}\frac{\pi}{n},\qquad \lim_{n\to\infty} B = \frac{\mu_0 I}{2R}.$$

Частные случаи

$n$	Фигура	$B$ в центре	$B / B_{\text{круга}}$
3	треугольник	$\dfrac{3\sqrt3\,\mu_0 I}{2\pi R}$	$3\sqrt3/\pi \approx 1{,}65$
4	квадрат	$\dfrac{2\mu_0 I}{\pi R}$ (со стороной $a=R\sqrt2$: $\dfrac{2\sqrt2\,\mu_0 I}{\pi a}$)	$4/\pi \approx 1{,}27$
6	шестиугольник	$\dfrac{\sqrt3\,\mu_0 I}{\pi R}$	$2\sqrt3/\pi \approx 1{,}10$
$\infty$	окружность	$\dfrac{\mu_0 I}{2R}$	1

Поле многоугольника всегда больше поля описанной окружности: его стороны ближе к центру ($b < R$). При росте $n$ отношение монотонно убывает к 1, потому что функция $\mathrm{tg}\,x / x$ убывает при $x \to 0$.

Итог

Задача	Ключевая идея	Ответ
3.221	$\mathbf B = [\mathbf v\times\mathbf E]/c^2$ — не нужны ни $q$, ни $r$	$B = vE\sin\alpha/c^2 = 3$ пТл
3.222	Био–Савар + симметрия: остаётся только осевая составляющая	а) 6,3 мкТл; б) 2,2 мкТл
3.223	Суперпозиция полей $n$ отрезков прямого провода	$B = \dfrac{\mu_0 nI}{2\pi R}\mathrm{tg}\dfrac{\pi}{n} \to \dfrac{\mu_0 I}{2R}$

\(n\)	Фигура	\(B\) в центре	\(B / B_{\text{круга}}\)
3	треугольник	\(\dfrac{3\sqrt3\,\mu_0 I}{2\pi R}\)	\(3\sqrt3/\pi \approx 1{,}65\)
4	квадрат	\(\dfrac{2\mu_0 I}{\pi R}\) (со стороной \(a=R\sqrt2\): \(\dfrac{2\sqrt2\,\mu_0 I}{\pi a}\))	\(4/\pi \approx 1{,}27\)
6	шестиугольник	\(\dfrac{\sqrt3\,\mu_0 I}{\pi R}\)	\(2\sqrt3/\pi \approx 1{,}10\)
\(\infty\)	окружность	\(\dfrac{\mu_0 I}{2R}\)	1