Бесконечные цепи сопротивлений

Иродов, задачи 3.153 и 3.154: теория, подробные решения и проверки.

Общая теория

1. Закон Ома и правила Кирхгофа

Закон Ома для участка: $U = IR$.
Первое правило Кирхгофа (узлы): $\sum I_{\text{вх}} = \sum I_{\text{вых}}$. Это закон сохранения заряда.
Второе правило Кирхгофа (контуры): $\sum_k I_k R_k = \sum_k \mathcal{E}_k$ по любому замкнутому контуру. Это следствие потенциальности электростатического поля.

2. Последовательное и параллельное соединение

Последовательно (общий ток) и параллельно (общее напряжение):

$$R_{\text{посл}} = R_1 + R_2 + \dots \qquad\qquad \frac{1}{R_{\text{пар}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots,\quad R_1\parallel R_2 = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$$

3. Эквивалентное сопротивление

Сопротивление между точками $A$ и $B$ определяется так:

$$R_{AB} = \frac{U_{AB}}{I},$$

где $I$ — ток, который входит в цепь в точке $A$ и выходит в точке $B$, а $U_{AB}$ — получившаяся разность потенциалов. В задаче 3.154 удобно задать ток и найти напряжение.

4. Линейность и принцип суперпозиции

Закон Ома и правила Кирхгофа — линейные уравнения. Поэтому сумма двух допустимых распределений токов тоже допустима: сложную картину можно сложить из простых. Решение единственно (теорема единственности для линейных цепей), так что найденная картина и есть правильная.

5. Симметрия

Если при повороте или отражении цепь вместе с точками подключения переходит сама в себя, то так же переходит и распределение токов. В частности, одинаковые ветви, переходящие друг в друга, несут одинаковые токи.

Задача 3.153 — бесконечная цепочка

Условие
Бесконечная цепь образована повторением одного и того же звена: $R_1 = 4{,}0$ Ом (последовательно) и $R_2 = 3{,}0$ Ом (поперёк). Найти сопротивление между точками $A$ и $B$.

Рис. 1. Исходная цепь. Выделенный «хвост» справа от первого звена — снова такая же бесконечная цепь.

Идея: самоподобие

Обозначим искомое сопротивление через $R$. Отрежем первое звено. Остаток справа от первой поперечной ветви — тоже бесконечная цепочка из таких же звеньев: если из бесконечности вычесть одно звено, она не изменится. Поэтому сопротивление хвоста тоже равно $R$, и вся цепь эквивалентна простой схеме:

Рис. 2. Эквивалентная схема: $R_2$ параллельно хвосту $R$, к ним последовательно $R_1$.

Уравнение

$$R = R_1 + \frac{R_2\,R}{R_2 + R}$$

Умножаем обе части на $(R_2 + R)$:

$$R R_2 + R^2 = R_1R_2 + R_1R + R_2R$$

Слагаемое $R_2R$ сокращается, остаётся квадратное уравнение:

$$\boxed{R^2 - R_1R - R_1R_2 = 0}$$

Решение

$$R = \frac{R_1 \pm \sqrt{R_1^2 + 4R_1R_2}}{2}$$

Сопротивление положительно, поэтому берём знак «+» (второй корень отрицательный):

$$R = \frac{R_1}{2}\left(1 + \sqrt{1 + \frac{4R_2}{R_1}}\right)$$

Ответ $$R = \frac{4 + \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{4 + 8}{2} = \mathbf{6\ \text{Ом}}$$

Проверка

Подстановкой: $4 + \dfrac{3\cdot 6}{3+6} = 4 + 2 = 6$ ✓
$R_2 \to \infty$ (поперечных ветвей нет): $R \to \infty$, остаётся бесконечная последовательная цепь ✓
$R_2 \to 0$ (первая же поперечная ветвь — перемычка): $R \to R_1$ ✓
$R_1 \to 0$: $R \to 0$ ✓

О строгости
Приём «хвост равен целому» предполагает, что предел существует. Рассмотрим цепочку из $n$ звеньев. Её сопротивление задаётся рекуррентной формулой $$R_{n+1} = f(R_n) = R_1 + \frac{R_2 R_n}{R_2 + R_n}.$$ Отображение $f$ при $x \ge 0$ — сжимающее, поэтому $R_n$ сходится к единственной неподвижной точке $R = 6$ Ом. Предел один и тот же при любом окончании цепи: обрыв, короткое замыкание и т. д.

Задача 3.154 — бесконечная квадратная сетка

Условие
Имеется безграничная проволочная сетка с квадратными ячейками. Сопротивление каждого провода между соседними узлами равно $R_0$. Найти сопротивление сетки между соседними узлами $A$ и $B$.

Идея: симметрия + суперпозиция

Если подключить источник к $A$ и $B$ сразу, симметрия нарушится и токи найти трудно. Поэтому разобьём задачу на две полностью симметричные.

Картина 1: ток $I$ втекает в $A$ и уходит на бесконечность

Картина 2: ток $I$ приходит из бесконечности и вытекает из $B$

Сумма: $I$ входит в $A$, выходит из $B$, по $AB$ течёт $I/2$

Картина 1

Ток $I$ подводится к узлу $A$ и растекается на бесконечность. Из $A$ выходят 4 одинаковых провода, а сетка симметрична относительно поворотов на $90^\circ$ вокруг $A$. Значит, ток делится поровну:

$$I_{A\to B}^{(1)} = \frac{I}{4}.$$

Картина 2

Ток $I$ приходит из бесконечности и отводится от узла $B$. По той же логике в $B$ по каждому из 4 проводов втекает $I/4$, в том числе по проводу $AB$, снова в направлении от $A$ к $B$:

$$I_{A\to B}^{(2)} = \frac{I}{4}.$$

Суперпозиция

Сложим картины. На бесконечности токи взаимно уничтожаются, и остаётся ровно нужная ситуация: $I$ входит в $A$ и выходит из $B$. Ток по проводу $AB$:

$$I_{AB} = \frac{I}{4} + \frac{I}{4} = \frac{I}{2}.$$

Напряжение между $A$ и $B$ равно падению напряжения на этом проводе:

$$U_{AB} = I_{AB}\,R_0 = \frac{I R_0}{2}.$$

Ответ $$R_{AB} = \frac{U_{AB}}{I} = \mathbf{\frac{R_0}{2}}$$

Физический смысл

Ровно половина тока идёт напрямую по проводу $AB$, а вторая половина — по всей остальной сетке. Значит, остальная сетка, подключённая параллельно проводу $AB$, имеет сопротивление тоже $R_0$. Проверка:

$$R_0 \parallel R_0 = \frac{R_0}{2}\ ✓$$

Проверка через теорему Фостера

Для любой связной цепи из $N$ узлов с одинаковыми рёбрами $R_0$:

$$\sum_{\text{рёбра}} R_{\text{эфф}} = (N-1)\,R_0.$$

В квадратной сетке у каждого узла 4 ребра, и каждое ребро общее для двух узлов, поэтому рёбер $\approx 2N$. На одно ребро приходится $R_{\text{эфф}} \approx \dfrac{N}{2N}R_0 = \dfrac{R_0}{2}$. Это совпадает с ответом.

Обобщения тем же методом

Если у узла $z$ соседей, то для соседних узлов

$$R = \frac{2R_0}{z}.$$

Треугольная сетка, $z=6$: $R = R_0/3$.
Сотовая (шестиугольная) сетка, $z=3$: $R = 2R_0/3$.
Кубическая трёхмерная решётка, $z=6$: $R = R_0/3$.

Для несоседних узлов, например по диагонали ячейки, симметрия уже не помогает. Там нужен интеграл Фурье, и получается $R = 2R_0/\pi$.

Итог

Задача	Ключевой приём	Ответ
3.153	Самоподобие: хвост бесконечной цепи эквивалентен всей цепи → квадратное уравнение	$R = \dfrac{R_1 + \sqrt{R_1^2 + 4R_1R_2}}{2} = 6$ Ом
3.154	Симметрия + суперпозиция двух картин токов «в бесконечность / из бесконечности»	$R = R_0/2$

Задача	Ключевой приём	Ответ
3.153	Самоподобие: хвост бесконечной цепи эквивалентен всей цепи → квадратное уравнение	\(R = \dfrac{R_1 + \sqrt{R_1^2 + 4R_1R_2}}{2} = 6\) Ом
3.154	Симметрия + суперпозиция двух картин токов «в бесконечность / из бесконечности»	\(R = R_0/2\)